שאלה קצרה – סכום מכפלות של שתי סדרות – בגרות קיץ 2023 מועד א׳סדרות 571 · שיעור 54

קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1 · סעיף א

שיעור 54: שאלה קצרה – סכום מכפלות של שתי סדרות – בגרות קיץ 2023 מועד א׳

פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף א (1) – אם … אז …

3סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה

📄 נוסח השאלה

א. נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל n טבעי: a_n = 2n − 1 , b_n = 2ⁿ.

נסמן: T_n = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n.

(1) הוכיחו כי: אם בעבור k טבעי כלשהו מתקיים T_k = (2k − 3) · 2^k+1, אז מתקיים T_k+1 = (2k − 1) · 2^k+2.

לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים T_n = (2n − 3) · 2ⁿ⁺¹.

(2) הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.

סעיף א (1) – אם … אז …

נניח ש־T_k = (2k − 3) · 2^k+1. הסכום T_k+1 הוא T_k ועוד האיבר הבא:

T_k+1 = T_k + a_k+1 · b_k+1

a_k+1 = 2(k + 1) − 1 = 2k + 1

b_k+1 = 2^k+1

T_k+1 =

(2k − 3) · 2^k+1 + (2k + 1) · 2^k+1

סעיף א (1) – אם … אז … · המשך

(2k − 3) · 2^k+1 + (2k + 1) · 2^k+1

נוציא גורם משותף 2^k+1:

T_k+1 = 2^k+1(2k − 3 + 2k + 1)

T_k+1 = 2^k+1(4k − 2)

T_k+1 = 2^k+1 · 2(2k − 1)

T_k+1 = (2k − 1) · 2^k+2

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^m+n

סעיף א (1) – אם … אז … · המשך

T_k+1 = (2k − 1) · 2^k+2

📐 חוקי חזקות

✅ פתרון סופי: הוכח

📐 חוקי חזקות

a^m · aⁿ = a^m+n

סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה

בדיקה עבור n = 1:

T₁ = a₁ · b₁ = 1 · 2 = 2

(2 · 1 − 3) · 2¹⁺¹

= (−1) · 4 = −4

2 ≠ −4

הטענה לא מתקיימת עבור n = 1. בסעיף (1) הוכחנו רק את שלב המעבר (מ־k ל־k + 1), אבל בלי שלב הבסיס האינדוקצייה לא מוכיחה דבר.

📐 אינדוקצייה מתמטית

דרושים גם בדיקה עבור n = 1 וגם מעבר מ־k ל־k + 1

סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה · המשך

📐 אינדוקצייה מתמטית

✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה כבר עבור n = 1 (2 ≠ −4)

📐 אינדוקצייה מתמטית

דרושים גם בדיקה עבור n = 1 וגם מעבר מ־k ל־k + 1

📌 סיכום התשובות

סעיף א (1)

הוכח

סעיף א (2)

הטענה אינה נכונה כבר עבור n = 1 (2 ≠ −4)

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא